Tænk omvendt

Jeg har i et tidligere indlæg anmeldt Pernille Pinds bog om problemløsning og vil gerne holde fast i dette tema. Denne gang på en lidt anden måde.

Meget ofte foregår opgaveløsning ved at læreren eller børnenes lærebog stiller en opgave, som de så skal løse.

Hvis man forestillede sig at vi lærte hinanden at tænke omvendt, så kunne der måske komme meget bedre undervisning ud af det.

Jeg vil starte med at formulere en traditionel opgave i kombinatorik (1):

På hvor mange måder kan man anbringe 3 centicubes – en rød, en gul og en grøn- i tre glas sådan, at mindst et glas forbliver tomt?

I stedet for straks at springe ud i at løse den kunne man gøre noget andet ved at stille denne opgave (1)  :

Tre elever har svaret på opgaven på tre forkerte måder. Du skal begrunde hvorfor svarene er forkerte.

Elev 1

Det er da meget nemt! Først vælger du et tomt glas. Det kan gøres på tre måder. Dernæst kan du anbringe de 3 centicubes frit mellem de to glas på 2   ∙ 2  ∙ 2 = 8 måder. I alt er der altså 3 ∙ 8 = 24 måder at gøre det på.

Elev 2

Nej, nej, nej! Man skal gøre sådan her: Først placerer vi den første centicube – 3 muligheder. Så placerer vi den anden centicube – også 3 muligheder. For den sidste centicube er der nu kun 2 muligheder, fordi mindst et af glassene skal være tomt. Altså 3  ∙ 3  ∙ 2 = 18 muligheder i alt.

Elev 3

I er helt rundt på gulvet begge to! Næh, nu skal I se. Først tæller vi mulighederne med netop ét tomt glas. Vi kan placere den første centicube frit på tre måder. Den anden placerer vi i et af de andre glas. Det kan så gøres på 2 måder. Den tredje centicube lægges nu oven i en af de to andre: 2 muligheder. I alt er der altså

3  ∙ 2  ∙ 2 = 12 muligheder med netop ét tomt glas.

Med to tomme glas skal vi vælge ét glas at komme alle tre centicubes ned i. Det kan gøres på 3 måder. I alt er der altså 12 + 3 = 15 forskellige måder at gøre det på.

Hvad er det rigtige svar?

Hvad er der i vejen med de forkerte svar?

(1) Hans Jørgen Beck m.fl.: Matematik i læreruddannelsen, Gyldendal 2005