Faglig læsning i matematik er noget andet…

Med vores nye lov kom det til at stå officielt. Eleverne skal også kunne læse i matematik – læse tekster med matematikfaglige udtryk, som der fx står i trinmålene i 2. fase i Fælles mål 2009.
Det er ikke, fordi vi matematiklærere ikke har diskuteret det tidligere, men presset på en mere systematisk tilgang synes stærkere end nogen sinde – hvilket jeg hilser velkomment, men også har visse bekymringer omkring.
Jeg må dog med bekymring notere at nogen ikke-fagfolk udtaler sig om, hvad faglig læsning er i matematik, som skaber uberettiget forvirring blandt dygtige matematiklærere og i værste fald forringer den faglige læring.
Jeg skal her fremhæve et par udvalgte synspunkter, som man kan læse mere om i to artikler, jeg har skrevet til Matematiklærerforeningens blade 5 og 6 2011. Synspunkter som anerkender nogle af de fokuspunkter som fx læsepædagoger fremhæver for at øge den faglige læsning men også synspunkter som forholder sig kritisk til det ud fra et fagdidaktisk perspektiv.
• Matematik er et fremmedsprog, som indeholder flere vanskelige afkodningsdimensioner hvor ”tekst” skal bearbejdes og omsættes. Det drejer sig om en fornuftig balance mellem at ”tale matematisk” og at ”tale i hverdagssprog”. Det drejer sig om et udpræget brug af ikke-faglige ord som synes klare for lærere men som er uklare for eleven. Det drejer sig om oversættelse af hverdagssprog til symbolsprog og omvendt.
• Der er ikke de fagtekster, man forestiller sig i en matematikbog. En matematikbog er en opgavebog, som kræver andre metodiske tilgange. Mange af de øvelser som man foreslår til at læse fagtekster er mere eller mindre meningsløse i matematik.
• For mange elever er ikke tilstrækkelig afklaret på, hvordan deres matematikbog er opbygget og dermed vanskeliggør det etableringen af en hensigtsmæssig læsestrategi.
• De såkaldte procesnotatskemaer er et fagdidaktisk tilbageskridt til kladdehæfteregningens fastlagte regnemetoder og problematisk som problemløsningsværktøj.

Fagord eller hverdagsord – en svær balance

Når Matias står i en rollespilsbutik og bestiller 4-sidede terninger, får han sikkert, hvad han bestiller. Både Matias og ekspedienten har et samstemmende billede af, hvad der tales om. Det indeholder dog kimen til en del matematiske misopfattelser, idet en 4-sidet terning ikke har sider men flader, og ordet terning bliver sædvanligvis brugt om en 6-sidet kube. Spilleterningen er dog ikke en kube men et tetraeder. Jeg tvivler dog på, om han havde fået, hvad han havde ønsket sig, hvis han fx havde sagt en ”4-fladet tetraeder”.
Hvis vi som matematiklærer således forfiner vores sprog til mere matematiske korrekte termer, vil det mere præcist udtrykke, hvad der tales om – problemet er blot, at vi derved distancerer os fra eleverne og i værste fald taber deres lydhørhed og involvering. De forstår ikke, hvad vi siger. Det er derfor et pædagogisk vanskeligt valg, hvornår og hvordan vi bruger fagord i stedet for hverdagsord – en balance, som det er svært at skrive forskrifter for. Det centrale er her en opmærksomhed på, at de mentale billeder, der bundfælder sig hos eleverne, ikke er for misvisende. Det er til at leve med at man i indskolingen refererer til en ”den aflange” og den ”pæne” firkant for henholdsvis et rektangel og et kvadrat, hvis eleverne forstår de egenskaber, der er knyttet til figurerne – men i længden vil en større faglig præcision gavne kommunikationen. Vi er imidlertid nødt til at have kontakt med eleverne for at få accept – at være i øjenhøjde med eleverne – og derfra tale dem op til en nuance og en sprogbrug, som er mere ensartet og matematisk koncist nok. Det stiller krav til at læreren belægger sine ord, så eleverne kan lære af samtalen hvad ordene betyder.
I en 2. klasse hvor jeg var på besøg og bad dem forklare ordet parallel fik jeg bl.a. svaret ”Parallel er det min far siger min mor ikke kan” – det havde jeg ikke lige forventet og det eksemplificerer at de billeddannelser knyttet til såvel det talte sprog som det skrevne sprog har uransagelige veje.

Det kan også være et problem i vores lidt ordfattige land at ord kan have mange meninger, så eleven skal være skarp på, hvilken kontekst det anvendes i. Ordet ”stor” er et eksempel. Man kan fx være et stort menneske. Stor kan beskrive forskellige størrelser som højde –volumen eller areal. Det kan vedrøre menneskelige egenskaber som stor kærlighed, stor frustration. Der kan tales om en stor begivenhed, en stor dag. Mulighederne er mange.
Ved et besøg i England for et par år siden bemærkede jeg, at der i mange af de yngre klasser var et synligt vokabularium – en ordbogsliste med de vigtigste fagord. I vejledningerne til de enkelte faglige emner var de vigtigste fagord fremhævet til læreren – og anvisninger på hvordan man kunne føre en dialog om dem. En synliggørelse som man måske kan gøre bedre i den daglige undervisning i Danmark.
En svensk undersøgelse påviser, at eleverne i de yngste klasser udsættes for ord, som ligger et – to år foran deres læseniveau i forhold til det matematiske indhold – altså en antydning af, at det ikke er matematikken, som er svær men læseafkodning og læseforståelsen.
I tillæg til diskussionen om fagord kan nævnes, at man i for stor udstrækning overser vanskelighederne med det der omtales som førfaglige ord - eller ikke-fagord. Det synes påvist, at fagene hver især gør brug af særlige ord, som ikke er defineret i faget og som ikke er meget almindelige i hverdagen, men som traditionelt indgår i retorikken i faget, og dermed er væsentlig for at eleven kan trænge ind i teksten. Man kan måske erindre ordvalg og vendinger som ”heraf ses klart”, ”en og kun en”.

Vi kender det i elevhøjde fx fra:
• Bydeformer når vi igangsætter en opgave: Marker …. ( at markere noget er ualmindeligt) Angiv … ( kan sættes i kontekst med at angive nogen ..) Vis at …
• Mængdeforhold: det mystiske ” a noget”, ”i forhold til”, ” to gange større end”, ”mere end”,
• Relative størrelser: ”Længere”,” tungere”,”hurtigere” osv
• Ræsonnementsvendinger: ” både … og ”, ”enten …eller”, ”hvis … så”, ”da ..”, ”fordi…”
• Beskrivelser af handlinger: ”Linjerne skærer”, ”punkterne mødes”, ”nedfælde den”,
• Positioner og retning: ”ved siden af”, ”hen mod”

I matematik er der udover de nævnte en anden dimension. Tekst kan være symboler og figurer, der skal læses. På mange måder er der tale om et nyt og fremmed sprog. Vi skal således alle fra starten af være flersprogede i faget matematik. Man skal kunne oversætte fra virkeligheden til matematikkens symbolverden, kunne operere med symbolerne og tolke resultaterne tilbage til virkeligheden. Indse at 1,3 kg æbler med en kg-pris på 15 kr. kan beregnes til at være 1,3 gange 15 kr. og kunne tolke det som en god pris i forhold til hvad man handlede det til i går.

Når ordene bliver til tekst

At kunne fagligt læse er bl.a. evnen til at få faglig indsigt gennem brug af fagtekster som er berettende, instruerende, beskrivende/informerende (besvarer spørgsmålet hvad), forklarende (besvarer spørgsmålet hvorfor og hvordan) og argumenterende.
Jeg har forsøgt at undersøge, hvad lærebogen i matematik er for en bog. Jeg har udvalgt fire forskellige lærebøger på 6. klassetrin. Jeg skelner i undersøgelsen mellem ”opgaven” og så de fem tidligere omtalte tekstaktiviteter. Det viser sig vanskeligt at skelne mellem informerende tekster og forklarende tekster, så de er slået sammen.
Resultatet er nogenlunde ens for de fire systemer - en matematiklærebog i folkeskolen i Danmark er en opgavebog. Omkring 80 % af bogen (i flere situationer mere) synes at være rene opgaver - og de resterende 20% er ofte tekster der fremstår som genremæssige halvfabrikata, idet det primære formål er at understøtte opgaveløsningen. De forklarende/informerende tekster er ofte kortfattede leksikale definitioner for at give faglige hints til elevens opgaveløsning. De berettende tekster er ofte en igangsættende historie, som skal gøres færdig af eleven (fx ved at løse en opgave som er relateret til en kontekst), de argumenterende tekster er nærmest ikke-eksisterende, idet man hellere ser eleven selv forsøge sig med at ræsonnere, handle og bevise noget fremfor, at man fortæller, hvordan tingene hænger sammen. Af samme grund har man gennem de sidste mange år neddroslet mængden af instruktionerne, idet eleven i højere grad skal have ejerskab til sine færdigheder og selv være på banen i denne tilblivelse fx ved at medskabende til at finde en divisionsalgoritmer, som passer til den enkelte. Der forefindes dog værkstedslignende forløb og aktiviteter omkring spil m.m. hvor instruktioner indgår som teksttype.
Til forskel for ovenstående har der gennem de sidste 50 år været en vækst i mængden af ”ikke-sammenhængende tekster” (eller hvad de nu hedder). Det er grafiske visualiseringer samt skemaer og diagrammer som indeholder informationer eleven skal anvende i opgaveløsningen. Grundet teknologien er det grafisk blevet nemmere at forklare en faglig sammenhæng ved brug af grafiske udtryk frem for tekst - og måske også et udtryk for en forestilling om at siderne i bøgerne ”bvliver spændende” for eleven.

Sammenligner vi matematikbogen med naturfaglige bøger er billedet anderledes - her er mange genrefaste eksempler. I disse fag har man en grundbog som er spækket med ”rigtige” fagtekster, det har man typisk ikke i matematik. Lidt karikeret ville det svare til, at man i biologi kun havde øvelsesbogen men undlod grundbogen.
Konsekvensen af ovenstående er således, at de fleste af de tidligere omtalte fagtekster enten slet ikke forekommer eller forekommer i særlig udgave. Det betyder, at foreskrevne læsepædagogiske øvelser knyttet til disse fagtekster ikke giver mening. Her brydes altså de metodiske traditioner i matematik og læsepædagogernes ønske om at give os ”aktiviteter til at læse fagteksterne med”. I matematik handler det mere om at problemløse – at løse opgaver – at eksperimentere – at ”løse” os til viden frem for at læse os til viden. Det store omfang af abstraktioner, som er fagets kerne, kræver en handlingsorienteret virksomhed for at forstå hvordan abstraktionerne fungerer og for at erkende strukturer og mønstre osv. Man skal i højere grad arbejde med begrebet areal end læse om begrebet areal.

Om ”at læse” sin lærebog

En særlig bemærkning indledningsvis til overgangen fra 3. til 4. klasse. Til forskel fra flere andre fag er der tale om et markant skift i lærebogens karakter på 4. årgang. Grundet traditioner som fortaber sig i fortiden, har man valgt, at eleverne typisk arbejder med en flergangsbog fra 4. klassetrin. I kombination med at stoffet øges væsentligt i abstraktionsgrad fx ved at talsystemet udvides fra de naturlige tal til de rationale tal, og at eleverne forventes at mestre øget læsestof, flere tekstopgaver og mere selvstændig opgaveløsninger fx ved brug af kladdehæfte, kan der opstå situationer hvor visse elever står af. Det skal derfor anbefales, at hvis der skal ske øget struktureret indsats i faglig læsning, så bør man på skolen etablere en praksis, der smidiggør denne problematiske overgang.

Det omtales i flere sammenhænge som et læsemæssigt fortrin, at eleven kender til den tekstgenre de skal give sig i kast med. At eleven kender til de karakteristika der er til den teksttype de skal læse. Det kunne føre til den slutning at eleverne kunne øge deres faglige læsning ved at forstå opbygningen af deres lærebog. De fleste bøger har indbygget en fast struktur for bogen, for opslaget og for den skrevne/tegnede tekst - som ofte ikke fremstår tydeligt nok for eleven.
Det kalder på indledende øvelser i starten af året, hvor man som elev får chancen for at undersøge bogen med hensyn til kapitler – overskrifter – registre - opbygningen af kapitlerne – særlige koder – mærker – ikoner osv… Tanken er at skabe en fortrolighed og en forudsigelighed, når matematikbogen tages i brug.
Det kunne kalde på øvelser hvor eleverne i større grad opøver en hensigtsmæssig måde at overskue de enkelte opslag som også ofte har en bestemt opbygning. Eleverne kortlægger en mulig læsesti. Man skal således få øje på, hvor opgaverne er, hvor de begynder og hvor de slutter, hvilke informationer, som er knyttet til de enkelte opgaver fx ved diagrammer, tegninger eller faktabokse, om tegningerne på siden typisk indeholder informationer eller blot skal være motiverende. Men det er ikke en enkelt sag … I den norske bog ”De mangfoldige realtekster” af to læseforskere konkluderer de om matematikbøger:

"... at matematiske tekster er tekster med svært høy grad af multimodalitet . … Det gør at et opslag i en lærebok i matematikk fremstår som en kompleks enhed, der mange forskellige meningsskapende resurser er med til at skabe den helhetlige mening"

Procesnotater kan føre til skematitis

Som omtalt er matematikbogen en opgavebog. Hvilket også indgår når man rundt omkring ser og læser indlæg om faglig læsning i matematik. Her bliver faglig læsning omsæt til såkaldte ”procesnotatskemaer”. Det er skemaer til eleverne, hvor man forfølger en procedure for at få hjælp til at regne tekstopgaver. Der er mange varianter på markedet - har blot fundet dette på en hjemmeside, hvor man vil hjælpe matematiklæreren med faglig læsning. (hent evt. bloggen som word-fil med tabeller nedenfor) Udgangspunktet er følgende tekstopgave:

"Palle, Polle og Ruth går ned til Blockbuster for at leje nogle ordentlig seje film og købe en masse slik og sodavand.
Palle lejer 8 film til 25 kr. stykket.
Polle køber 5 stk. 1,5 liters colaer til 23 kr. stykket, og Ruth køber 6 poser chips til 14 kr. stykket.
Hvor mange penge bruger de i alt?"

1) Spørgsmål
2) Hvad ved jeg?
3) Tegn
4) Hvad gør jeg?
5) Udregn
6) Svar med tekst

Rubrik 1 og 2 skal formodentlig bruges til, at eleverne skal fokusere på, hvad de har læst og spalte informationerne op i mindre mere overskuelige dele. Forståeligt at ”tvinge eleven” til at se tekstens elementer, men langt fra sikkert at de har erkendt problemstillingen - altså relationerne mellem de enkelte elementer.
Rubrik 3 - tegneopgaven - er formodentlig et forsøg på at igangsætte en billeddannelse af problemstillingen - måske problematisk hvis tegning er en barriere for barnet. Der er forskel på det man ser for sig, og det man kan tegne. Man kan måske overbevise eleverne om at primitive skitser er fuldt acceptable men det rykker ikke ved elevens oplevede vanskelighed, som kan forrykke problemstillingen fra selve opgaven.
Rubrik 4 er et kendt ønske om at skrive mellemregninger - at udtrykke processen med matematiske symboler og/eller tekst. Det er ikke umiddelbart en hjælp men et ekstra stykke arbejde at skulle formulere dette - men et fornuftigt stykke arbejde til højnelse af forståelsen af hvad der er sket.
Rubrik 5 og 6 er formodentlig et forsøg på at skelne mellem en algoritme og et tolket svar. Hvis man har opøvet hovedregning og personlige algoritmer er rubrik 5 formodentlig overflødig - for slet ikke at tale om, hvad de skal gøre, hvis de bruger lommeregner.
Jeg skal skyndsomt sige, at det ikke er for at nedgøre dette specifikke procesnotat, men for at problematisere procesnotater i al almindelighed. Jeg tror der er nogle muligheder, men også nogle farer som lurer. Mulighederne er det procesnotaterne er til for - at give et støttende stillads til ikke mindst de svage elever, så de kan overskue og styre sig igennem løsningen af en såkaldt tekstopgave. Faren er at flere af de skemaer jeg har set er for systematiske. Med det mener jeg, at de kan blive en spændetrøje i stedet for en hjælpeforanstaltning.
Der er antydninger i forskningen af at med en sådan ”skematitisk” tænkning, får man i højere grad eleverne til at gå mere op i at udfylde skemaet end i at fordybe sig i selve problemet.