Derfor skal vi af med standardalgoritmerne!

Et vanvittigt svigt!

At det er et stort svigt, hvis eleverne ikke får en stærk talforståelse og lærer gode regnefærdigheder - det var nok det eneste stort set alle i debatten var enige om. Alt for mange unge mennesker forlader folkeskolen uden tilstrækkelige regnefærdigheder og det skaber naturligvis stor frustration for underviserne i gymnasiet, at eleverne ikke har det nødvendige fundament at bygge videre på. Men talforståelse og regnefærdigheder handler ikke kun om uddannelse - det er noget, vi bruger mange steder i livet. Det største svigt er derfor, hvis eleverne hverken kan eller vil regne i deres hverdag - uanset hvilken vej de uddannelsesmæssigt skal efter folkeskolen. Det som delte vandene i debatten, var særligt opfattelserne af årsagen til de manglende regnefærdigheder. Er det fordi eleverne aldrig er blevet undervist i standardalgoritmer eller fordi de netop er, men aldrig har forstået dem?  Mens nogle mener, at “der skal træning, træning, træning og træning til”, så mener jeg, at løsningen skal findes i at fokusere på talforståelse og regnestrategier i stedet for. Eleverne skal ikke have flere regnestykker - de skal have flere strategier!

Skal eleverne selv opfinde 2000 års matematik udvikling?

Nej, det handler sørme ikke om at se bort fra den historiske viden om matematik - tværtimod!

Historisk set blev lodret opstilling indført som følge af det samfundsmæssige behov for hurtighed og sikkerhed i regninger hos et flertal af samfundsmedlemmerne på trods af konsekvenserne for elevernes forståelse og indsigt. Det blev altså indført med et ønske om, at gøre eleverne til sikre, hurtige, små regnemaskiner, selvom man anerkendte, at det var enormt tidskrævende - men fordi man dengang ikke havde andre regnemaskiner.  Allerede i ‘Undervisningsvejledning for folkeskolen nr. 15, Regning/Matematik’ fra 1976 står der skrevet, at denne prioritering af metode over forståelse ikke bør opretholdes i fremtiden. I ‘Matematik - faghæfte 12’ fra 1995, hvor lommeregnere efterhånden er tilgængeligt for alle, så bevæger man sig væk fra denne algoritmetræning og uddyber blandt andet: “I forbindelse med arbejdet med algoritmer bør man være opmærksom på de problemer, som kan være knyttet til selve udformningen af algoritmen. Tænk fx på, hvordan kravet til talforståelsen ændres, når opstillingen i et simpelt regnestykke forandres fra vandret til lodret opstilling”. Lodret opstilling sætter ingen krav til elevernes talforståelse - de behøver slet ikke forstå tallene, som de regner med, eller overveje hvilke værdi de forskellige cifre repræsenterer og ej heller hvilke cifre, der skal lægges sammen - de kan regne med cifrene alene uden at forstå hverken tallet eller hvad de laver. ‘To hundrede og tre og fyrre’ er et tal, hvorimod 2 og 4 og 3 er cifre i tallet.  Måske er det derfor så mange ikke vil slippe algoritmerne - fordi de får det til at se ud som om eleverne kan en hel masse, selvom de ikke nødvendigvis har forstået andet en slavisk at følge en opskrift. Hvis ikke eleverne har tilstrækkelig talforståelse til at forstå de tal, som de skal regne med, så er det altså der, vi skal sætte ind - med udvikling af deres talforståelse. Har vi behov for, at de i situationer skal regne med mere komplicerede tal, end de er klar til at magte, så stik dem en lommeregner. Men når de skal træne regnefærdigheder, skal det være med udgangspunkt i deres talforståelse og derfor inden for det talområde de forstår. Historisk set er der også rigeligt belæg for, at alt for mange elever laver fejl og glemmer algoritmerne, fordi det aldrig har givet mening for dem. De kan ikke ræsonnere sig frem til en løsning, fordi de aldrig har forstået, hvordan det virkede. Kan man ikke huske trylleformularen, så er den ikke mere værd end en lommeregner, som er blevet væk. Det skal vi altså ikke spille elevernes tid på.

Bliver man bedre til at strikke ved at brænde alle strikkeopskrifter?

Et af de argumenter, der også gik igen flere gange var, at det er en idyllisk forestilling at eleverne på magisk vis selv finder en gangbar, effektiv og korrekt metode til at lave udregninger. “Det er smukt i teorien, men fungerer ikke i praksis”. Der blev lavet flere sammenligninger med det at følge en eksisterende opskrift i stedet for selv at skulle opfinde det hele forfra - “...nogle lærer kun at følge opskriften, andre når videre, men jeg ville være ilde stedt, hvis jeg selv skulle finde ud af, hvordan man bager brød”.

Den helt store misforståelse her er, at eleverne ikke skal hjælpes og guides i deres udvikling af metoder. At det er noget de selv (som i helt alene) skal finde frem til. Desværre tror jeg også, at det er den fatale misforståelse, som har skabt årtiers forvirring og kaos i stedet for den ønskede forbedring af elevernes regnefærdigheder. Enten har lærerne fortsat algoritmetræningen på trods eller også har de ladet eleverne sejle i deres egen sø - dette har netop medført holdningen om, at “alternativet er at de ingen metode har eller de har noget, der er decideret forkert”. Det der egentlig står i den nuværende ‘læseplan for faget matematik’, og som hele tiden har været tanken er, at “Det er centralt, at læreren udfordrer og støtter de enkelte elever på en måde, så eleverne udvikler deres regnestrategier på baggrund af deres talforståelse frem for at lære procedurer for opstilling og udregning. Der sigtes ikke mod opøvelsen af standardiserede algoritmer” Læreren har altså en helt central rolle i at støtte eleverne i deres udvikling af regnefærdigheder, men det skal gøres på en måde, som udvikler deres strategier på baggrund af deres talforståelse. Man kan ærgre sig over, at hensigten bag målsætningen ikke har været tydeligere. Ordvalget om at “eleverne kan udvikle metoder” som del af målsætningen, har skabt forvirring og misforståelser, selvom ønsket (efter hvad jeg har ladet mig forklare) var, at skabe udvikling af praksis.

Hvis man ikke underviser i algoritmer, hvordan skulle de så lære at regne i hovedet/hånden?

Ja, det er det næste helt store problem. Alt, alt for mange både dygtige og kompetente matematiklærere ved ikke, hvordan de skal lære eleverne at regne, hvis det ikke er, at forklare dem de kendte algoritmer. “Jeg har svært ved at finde et alternativ til standardalgoritmerne...”. Det er her vi burde lægge vores energi. Hjælpe hinanden med at videndele om, hvordan man støtter og guider eleverne i at lære at regne ud fra deres talforståelse i stedet for ud fra en gammel teknisk algoritme, som er lavet til at se bort fra manglende forståelse i stedet for at styrke deres forståelse. Jeg rejser selv land og rige rundt og holder oplæg og kurser for at hjælpe lærere godt i gang netop med undervisning i regnestrategier ud fra elevernes talforståelse, men jeg frustreres samtidig over de test og undervisningsmaterialer, som efter min mening, ikke hjælper os godt nok på vej.

Det er den letteste metode ved store tal

“I de små klasser laver og bruger vi en masse regnestrategier, men når man i 5.-6. Klasse skal udregne 27638-14845, så har jeg da svært ved at se hvilken metode, der er lettere og hurtigere end en omgang lodret opstilling”. Jeg tænker, at hvis man vitterlig møder regnestykket 27638-14845 i en situation, hvor det skal gå hurtigt og være let, ja så ville ALLE i dag tage deres lommeregner. Det er typisk noget hurtigere at finde en lommeregner end at finde en blyant og et stykke papir. Til eksamen uden hjælpemidler møder man aldrig stykker som dette. Hvis man i en anden skolesituation end eksamen skulle komme ud for det regnestykke, og ikke måtte bruge lommeregner, så burde det netop være som et læringspotentiale og man ville i så fald give tiden til at snakke om forskellige måder at gøre det på. Få kvalitet ud af arbejdet med få regnestykker i stedet for at pløje igennem en hel masse, udelukkende for at træne én bestemt opstilling.

Uden algoritmer kan de ikke klare afgangseksamen efter 9. klasse

Jo, de kan. Hvis vi støtter eleverne i at udvikle fleksible og hensigtsmæssige regnestrategier på den måde, som det er tiltænkt, så bliver de bedre til at regne end ellers. Og desuden er regneopgaverne i prøven uden hjælpemidler ganske egnet til hovedregning og man kan også sagtens regne mere komplicerede regnestykker uden standardalgoritmer.

Standardalgoritmerne er det eneste, vi kan nå

“Der er ikke tid til det legende, der er konstante læringsmål, der skal opfyldes og frivillige (ofte ikke frivillige) tests og nationale test - det bliver meget ‘teaching for the test’ ” . For det første, så er arbejdet med regnestrategier jo et af de mål, vi skal nå. Men når jeg kaldte sidste oplæg for “lærerne som fagets vogtere”, var det netop for at indikere, at vi er nødt til at være dem, som sikrer at undervisningen ikke styres af læremidler eller test, men fyldes med det indhold, som er tiltænkt. Det sætter krav til vores faglige viden og forståelse af faget. Oplever man et tidspres, så er det da også ekstra vigtigt, at vi ikke spilder tiden på noget, som hverken er meningen eller fordrer elevernes matematiske udvikling i øvrigt. At fokusere på regnestrategier fremfor standardalgoritmer fremmer samtidig elevernes evne til at at tænke strategisk, fleksibelt og det at finde smarte løsninger - kompetencer som er en vigtig del af faget indenfor mange andre emner også. Generelt tænker jeg, at vi skal blive langt bedre til at bruge vores undervisningstid med omtanke og ikke spilde værdifuld tid på demotiverende og ligegyldigt læring set i relation til elevernes kommende fremtid. Da jeg den anden dag hjalp min mand, som er softwareingeniør, med at udtænke den rette programmeringsalgoritme til en app, som han var ved at kode, så var det vigtige ikke, om jeg selv kunne udregne den komplicerede opstilling vi kom frem til - det gjorde computeren jo. Det vigtige var derimod at kunne gennemskue problematikken, omsætte den til matematik og have en sikker forståelse af de forskellige regningsarter for at vide, hvad der skulle bruges hvor.

Hvorfor skal de være enten eller?

“Hvorfor er det så vigtigt at komme standardalgoritmerne til livs?”. “Hvorfor kan det ikke være én anerkendt metode ud af flere?”. Denne holdning kan jeg sagtens følge og har også delt engang. Det jeg finder særlig problematisk er, at standardalgoritmen (ud over de mange andre beskrevne problematikker) virker hæmmende for elevernes overslagsregning og hovedregning. Ved overslag vil man jo aldrig starte med enerne - man vil jo modsat starte med at se på de store tal. Det forvirrer eleverne, at vi det ene øjeblik står og siger “ALTID enerne først - husk det nu!” og det næste øjeblik forventer, at de naturligt fokusere på de største tal først. Så bliver overslagsregning og præcis beregning to helt adskilte ting, i stedet for at man starter med et overslag og hvis man har brug for det, så regner man de sidste positioner med også.

Et andet problem er den manglende fleksibilitet i de traditionelle algoritmer. Der er kun én vej til løsningen, hvilket gør regning statisk og procedureorienteret. Det får eleverne til at slukke hjernen - for de behøver jo ikke tænke. Det medfører, at de til tider laver unødvendige opstillinger for udregninger såsom 100-98 eller ikke opdager, hvis de har lavet fejl og får et helt bizart resultat.  

Men “nogle elever bruger algoritmer og er glade for dem, hurtige til at bruge dem og får korrekt facit”. Ja, og selvfølgelig skal vi ikke gå ind og sige at det er forkert og strengt forbudt. Men min hovedregel er, at hvis de laver fejl eller ikke selv forstår det, så får de det ikke vist igen og igen af mig. Så får de i stedet hjælp til at finde en vej, som de rent faktisk forstår. Men selv de elever som mestrer lodret opstilling, der er vi som lærere nødt til at have ekstra fokus på deres udvikling af overslagsregning og hovedregning. Min erfaring er, at de langsomt bliver dårligere og dårligere hertil jo mere de bruger lodret opstilling, fordi de ikke naturligt får det brugt og sat i spil hele tiden. Deres hovedregning begynder at blive akavede forsøg på at holde styr på lodret opstilling i hovedet og det er altså bare ikke hensigtsmæssigt. Det er trist.

Herudover er jeg bekymret for, at hvis vi acceptere de standardiserede algoritmer som én mulighed ud af flere, så vil nogle lærere og undervisningsmaterialer gribe det som en undskyldning for ikke at anstrenge sig kvalificeret nok med alternativerne. Som for eksempel i en nutidig matematikbog, hvor der ganske vist nævnes, at man kan regne på forskellige måder (hvoraf lodret opstilling er én af dem) og derefter kommer der så 3-4 sider udelukkende med opgaver i lodret opstilling, hvorimod de andre metoder stort set intet fokus får.

At der ikke skal undervises i standardalgoritmer betyder dog ikke, at der ikke skal arbejdes med at ræsonnere, generalisere og støtte eleverne i at optimere deres metoder. Hvis en elev regner 15*105 ved at lægge 105 sammen med sig selv 15 gange, så viser det, at begrebet gange er forstået, men det viser ikke god talbehandling og det skal der derfor arbejdes videre med at optimere.

Det hjælper de svageste børn, som ikke har overskud til at vælge mellem forskellige tilgange

Nej det gør ej. Det gør disse elever i stand til at ‘fake’ at de kan regne, selvom de egentlig ikke kan. Hvis du har elever, som har svært ved at overskue snak om mange forskellige løsningsmuligheder til samme regnestykke, så støt dem i en metode som passer til netop deres tankegang - ikke din tankegang. Brug lidt tid på at forstå hvordan de naturligt tænker, når de regner i hovedet, og hjælp dem til en metode, som passer netop til deres tankegang. Så vil de have en chance for både at kunne forstå og huske den. En anden god løsning er, at lære dem en metode som rummer så stor fleksibilitet, at den naturligt tilpasses den enkeltes tankegang. Det vigtige er, at eleverne støttes i at opnå sikkerhed med en overskuelig metode, som de forstår - ikke at træne dem i at forstå en bestemt traditionsbunden algoritme.

Det her er altså vigtigt kære matematik-kollegaer. Ikke kun fordi det er det, som der står i læseplanen for faget, at vi skal, men fordi det ægte svigt af eleverne består i at fortsætte med at gøre det, som ikke virker! Jeg ved godt, at det er svært at ændre praksis - det er ikke noget man bare lige gør - men vi kan starte med at være åbne for at prøve og så hjælpes ad med at være vedholdende omkring en udvikling af vores undervisningspraksis.