Med små greb undgår man papegøjematematik og får lektier, der passer til flere elever

Træningslektier fylder uforholdsmæssigt meget i matematikundervisning i grundskolen, og man risikerer hurtigt at ende i papegøjematematik, hvor eleven træner en kopieret metode, læreren har udleveret.

Med små greb kan man dog hacke træningsopgaverne og give lektier, der passer til flere elever og bygger på talforståelse fremfor metodelære, og som samtidig kræver mindre forberedelse for læreren.

Med sådan et Kinderæg som indledning her op til påske, vil vi nu dykke dybere ned i temaet.

Fagsynet...

Typen af lektier, vi giver for, peger ofte tilbage på det fagsyn, der ligger til grund for undervisningen i timerne, og det kan derfor være svært at adskille typen af lektier fra det, der sker i klassen i matematikundervisningen.

Ideerne i dette blogindlæg tager udgangspunkt i et opslag vi lavede i facebookgruppen “For os der underviser i matematik” den 18. december sidste år. Opslaget forholdt sig netop til den generelle brug af udenadslære og træningsopgaver i matematik og var et forsøg på at rokke lidt ved den meget udbredte instruktivistiske tilgang, der følger opskriften:

• Jeg gør - Læreren viser, hvordan en metode udføres.
• Vi gør sammen (i fællesskab) - Klassen inviteres til at udføre den kopierede metode med støtte fra læreren.
• I gør sammen (i grupper/par) - Eleverne prøver at udføre metoden med støtte fra andre elever.
• Du gør alene - Eleven udfører metoden på egen hånd bl.a. som lektie hjemme.

Udfordringen...

Tilgangen herover ligger meget tæt på manges opfattelse af, hvad det vil sige at undervise og være lærer, og i et fag som matematik, der med rette kan opfattes som en meget eksakt disciplin, kan det virke oplagt at lave en undervisning, der bygger på at udlevere præcise metoder og algoritmer, da de helt åbenlyst fører til det rigtige facit, hvis de da udføres som beskrevet.

Vi vil dog pege på tre grundlæggende udfordringer ved denne tilgang:

1. Med ovenstående tilgang reduceres faget matematik til en samling af formler og typemetoder, der skal påføres bestemte typeopgaver. Elevernes rolle bliver i denne undervisning at identificere typen af opgave, de står overfor, og påføre den korrekte typeløsning hurtigt og sikkert. Det korrekte facit vejer tungt, og evaluering og feedback handler for det meste om at identificere, hvor i proceduren eleven handler ukorrekt og korrigere dette trin.

2. Matematik er ikke udelukkende en eksakt disciplin. Ofte skal der træffes valg, og der skal manipuleres med tal og regneudtryk på den ene eller den anden måde. Modellering er eksempelvis en af hjørnestenene i matematikundervisningen, og den er skrevet helt frem i faghæftets gennemgang af tredje afsnit af matematikfagets formål i grundskolen.
   Data fra afgangsprøverne viser, at alt for mange elever har svært ved at gå til modelleringsopgaver, fordi de traditionelt er vant til at have fået en standardmetode til at løse opgaverne, lige inden de udleveres til løsning. Det samme gælder opgaver og aktiviteter, der lægger vægt på ræsonnementer, kommunikation og problemløsning. Den instruktivistiske tilgang har en indlejret medlæring, der gør matematikken autoritativ og urørlig i sin grundform, og det afholder mange elever fra at eksperimentere, træffe valg og tilpasse opgaver og tilgange i deres arbejde med matematikken. Det kan på længere sigt blive et problem for dem i deres videre liv, da matematikken efter gymnasiet sjældent kommer i mundrette bidder med kun én måde at gøre tingene på.

3. Forståelsen mangler ofte. I den instruktivistiske matematikundervisning stortrives de elever, der er gode til at lære udenad, og der er en vis tryghed i den meget genkendelige og overskuelige struktur. Det er i den sammenhæng interessant at bemærke, at forskellige projekter med anderledes tilgange til matematik og med fokus på mere åbne og undersøgende opgaver ofte får andre elever, der normalt opfattes som fagligt udfordrede, til at blomstre. Samtidig kan man opleve, at nogle af de elever, der opfattes som stærke i den traditionelle undervisning bliver mere rådvilde og usikre i den mere åbne matematikundervisning med mange veje til målet og stor grad af agens hos eleverne. Der er desuden den fare, at man som lærer, elev og forælder kan få blinde vinkler i forhold til elevernes forståelse, da de på overfladen kan synes at være gode til at løse opgaverne, selvom det måske primært handler om deres evne til at huske og udføre beregningsrutinerne forbundet hermed. Ligesom papegøjen ikke kan snakke et sprog, blot fordi den kan imitere de lyde, der indgår i meningsfulde sætninger. I bogen “Det tænkende klasserum i matematik” præsenterer Peter Liljedahl sine observationer af elevadfærd i en typisk instruktivistisk matematikundervisning. Her anslås det, at omkring 50% af eleverne imiterer som strategi, når de skal arbejde med opgaverne. Vi anerkender her det forbehold, at den slags konklusioner på observationer bygger på subjektive vurderinger af noget, der kan være svært at kvantificere.

Når vi vælger at gå lidt i dybden med udfordringerne ved den instruktivistiske tilgang, er det fordi udfordringerne gennem typen af lektier, vi giver for, kan være med til at forstærke en fagkultur og cementere en didaktisk kontrakt med læreren som den alvidende med metoderne, som eleverne skal overtage.

Alternative veje...

I virkeligheden skal der ikke så meget til for at lave et skift i fokus, og mange gange kan man bruge de klassiske træningsopgaver på nye måder.

Nøglen ligger i de spørgsmål, vi stiller eleverne. I Facebookopslaget tog vi udgangspunkt i vidensområdet “regnestrategier”, og selvom vi giver konkrete bud på måder at spørge på i matematikundervisningen, kan spørgsmålene lige så fint bruges, når der gives lektier for.

Herunder følger opslaget i sin fulde længde:

Med små justeringer, i det vi beder eleverne om, kan træningsark som dette ændre fokus til at handle om talforståelse i stedet for at handle om automatisering af en one-size-fits-all-algoritme.

Arket her er med addition, men tilgangen kunne ligeså fint bruges til de andre regningsarter og regning med fx brøker, negative tal osv.

Her er nogle hurtige søndag-morgen-bud på, hvad man kunne spørge om i stedet for "Regn stykkerne".

• Sæt ring om de stykker, der kommer tæt på 1000 (maks 100 fra).

• Byt rundt på 2 cifre i stykket, så det giver et resultat så tæt på 1000 som muligt. Så høj en sum som muligt kunne være en variant. Alle cifrene i spil endnu en variant.

• Vælg et af stykkerne og lav det om til nye stykker, der er lettere at regne, og som du ved giver det samme resultat. Find alle de stykker i arket, hvor du kan bruge samme strategi.

• Skriv den nærmeste 100 til resultatet af hvert stykke.

• Sæt ring om de stykker, du kan regne i hovedet. Stjerne ved dem, du kan løse ved at lave stykket om til nye lettere. Firkant ved dem, du ikke har en strategi til at løse. Gå sammen med din sidemakker og sammenlign jeres tilgange til de forskellige stykker og inspirer hinanden (prøv hinandens strategier).

• Over eller under 1000. Sæt pil op ved stykker, der giver mere end 1000 og pil ned ved stykker, der giver mindre.

• Hvad skal det ende med? Skriv hvad det sidste ciffer i resultatet er.

Det er de små justeringer, der gør forskellen, og hvis man træner det blik på fx matematikbogens eller portalens opgaver og aktiviteter, er der en uudtømmelig kilde af meningsfuld matematik lige for øjnene af en.

"Hack opgaverne" burde desuden være et fast punkt på fagteammøderne på skolen til gensidig inspiration og udvikling af teamets fagsyn.