Åbne opgaver, hvordan og hvorfor?

Åbne opgaver er ikke så enkelt et begreb, det er nemlig ganske åbent i sig selv. Med andre ord kan man åbne en lukket opgave og ligeledes komme til at lukke en åben opgave, det sidste kan ske, hvis man ikke er opmærksom på, hvordan man skal forberede sig før, man giver sig kast med de åbne opgaver. Det afgørende er lærerens spørgsmål til den givne opgave, og hvad hendes forventninger til arbejdet med de åbne opgaver er. Er det hensigten at undersøge noget eller at invitere eleverne til at gøre noget bestemt for at få øje på eller opnå forståelse for bestemte strukturer i forhold til nogle matematiske begreber?

Man kan tale om, at en opgave kan være åben i sin indgang, her er hverken givet retning eller metode, hvorfor denne type opgaver også ofte bliver åbne i både processen og resultatet. En opgave kan også blot være åben i sin proces, her er der på forhånd givet et oplæg, som kan synes lukket, men resultatet kan nås på mange måder, og endelig kan en opgave være åben i forhold til facit, hvor der kan være flere facitter, som opfylder de kriterier, der er stillet op.

Eksempler på en opgave der er åben i sin indgang kunne være:

 ”Planlæg en fest” eller ”Du flytter hjemmefra”.

Selvom opgaverne tilsyneladende virker fremkommelige, er det meget svært for eleverne selv at skulle finde ud af at strukturere opgaven således, at det bliver en matematikopgave. For at det skal lykkes må læreren her have forberedt sig grundigt på dels at hjælpe med en form for strukturering eller hvordan hun kan støtte eleverne gennem spørgsmål, der igen støtter eleverne i at tænke matematisk og samtidig kunne anvende det.

Et eksempel på en opgave, der er åben i sin proces er følgende:

En prins samler guldæbler i en have som ligger midt i den forbudte skov, hvor det vrimler med trolde. Da han skal hjem møder han en trold, som ønsker halvdelen af hans æbler plus to for at skåne hans liv. Inden han kommer ud har han mødt to til, som beder om det samme. Hjemkommen i live har han to æbler tilbage. Hvor mange æbler samlede han op i haven? (Opgaven findes i Faktor for syvende)

Denne opgave er lukket i en forstand, men åben i anden. At den er åben i sin proces (fremgangsmåde) kan hurtigt afgøres ved at lade forskellige fremgangsmåder blive synlige på tavlen. Men opgaven kan gøres til genstand for mange flere undersøgelser. Der er 3 forskellige parametre på spil: Antallet af æbler der er tilbage efter møderne med troldene og dermed antallet, der er samlet op, antallet af trolde prinsen møder og endelig, hvor mange af hans æbler de beder om.

Ændrer man en af disse parametre, lad os sige antallet af æbler, prinsen har tilbage, kan man tillige undersøge om nogen af eleverne også ændrer fremgangsmåde. Man kunne også spørge om alle tal ville kunne bruges som det antal, han har med sig hjem, når troldene beder om det antal de gør, forudsat at vi kun arbejder med hele æbler. Antallet af trolde kan varieres, og måske beder de ikke om den samme mængde, og således kan man ændre troldenes krav til fx 1/3 af æblerne plus 1 eller noget helt andet. Når man ændrer på disse parametre, opstår der mange forskellige opgaver med udgangspunkt i en enkel lille opgave. Og det er netop en af måderne, at åbne en opgave. Det er således lærerens spørgsmål, der er afgørende for, hvordan der bliver arbejdet med opgaven og åbner den.

Et eksempel på en opgave, der har flere facits kunne være:

Hvor mange forskellige slags heltallige trekanter kan du finde med omkredsen 12? Med heltallig forstås at sidelængderne skal være et helt tal. (Opgaven findes i Faktor for syvende)

Også denne opgave kan udvikles gennem spørgsmål om at se forskellige mønstre og undersøge hvilke slags trekanter, der er spil, man kan variere omkredsen, eller undersøge vinklerne eller mange andre ting.

Uanset hvilken type opgave læreren vælger at arbejde med, er det afgørende hvilke efterfølgende spørgsmål, der stilles til både hele klassen, eller blot til en gruppe eller en enkelt elev.

Åbne opgaver kan således bruges til at differentiere undervisningen med, hvor alle arbejder med den samme opgave og alle skal stå på tæer og yde deres bedste. Og alene af den grund er det en effektiv metode til at arbejde med både matematisk tænkning og udvikling af forskellige matematiske kompetencer, men der er også andre grunde. Eleverne kan også være med til at stille spørgsmålene, de kan lære hvordan man stiller dem, og hvad man opnår ved at undersøge forskellige ting.

Udgangspunktet kan være både åbent eller lukket, men måden, læreren vælger at arbejde med opgaverne på, er afgørende for om man kan kalde dem åbne eller lukkede.

Åbne opgaver er ikke svaret på alt og man skal tænke sig godt om, når man vælger at arbejde med opgaver på denne måde, ellers kan det give bagslag og eleverne opnår ikke den matematiske kompetence, man måske håbede på.