Forståelse af matematik

Jeg blev fornylig spurgt om, hvad man gjorde ved de elever, som har meget svært ved at slippe konkrete materialer og som tilsyneladende ikke udvikler sig meget i forhold til matematik. Det drejer sig om elever, som bliver taget ud af undervisningen for at få ekstra hjælp. Spørgsmålet lød, om man ikke bare kunne give dem en lommeregner og lade dem følge med i klassen på den måde. Og selvfølgelig kan man prøve med en lommeregner, hvis det kan hjælpe. Det er absolut en plausibel løsning, men det fik mig til at tænke lidt mere over, hvad det er vi gerne vil have elever til at forstå, når vi arbejder med matematik. 

Er procedurerne noget der skal forstås eller læres? Skal eleven lære at forstå, hvorfor vi kan multiplicere to tal med hinanden ved at benytte en algoritme, hvor man først ganger med enere, senere med 10erne og sidst med hundrederne i et regnestykke som: 345 x 789. Skal eleverne forstå, hvorfor arealet af et rektangel er den ene side multipliceret med den anden, hvorfor man kan dividere to brøker ved at gange med den omvendte, eller hvorfor man finder arealet af området under en kurve, ved at integrere funktionen i det pågældende interval? Eller er det bare nogen procedurer, der skal læres uden forståelse? Med en lommeregner kan man komme rigtig langt uden forståelse for procedurerne, blot man ved, hvornår man skal bruge dem. Og spørgsmålet er, hvordan man kan vide det uden at forstå selve procedurerne. Det går jo ganske godt at betjene mange forskellige instrumenter uden at vide hvordan de fungerer, blot man læser og følger manualen, så kan vi få vores forskellige ting som køleskabe, fjernsyn, smartphones og andre redskaber til at arbejde for os. Men den sorte boks forbliver sort og hvis noget går galt, kan vi ikke gennemskue det.

Hvad vil det sige at forstå relationerne, at vide hvordan tingene hænger sammen, og hvorfor noget kan konkluderes ud fra andet? Vi møder alle elever i forbindelse med matematikundervisningen, der gerne vil forstå en sammenhæng, som det kan være svært at forklare, fordi det måske er en vedtagelse eller det kræver en anden slags viden at forstå, end den vi mener eleven er i besiddelse. Og vi kender alle underviseren, der prøver at forklare en sammenhæng til elever, der blot ønsker at få at vide, hvad de skal gøre, for det er, hvad de magter at forholde sig til. Men matematik har logiske sammenhænge og er opbygget, så systemet kan forstås samlet og hver for sig, dog kræver matematisk tankegang arbejde og tankekraft at forstå – og gode spørgsmål fra underviseren såsom hvordan hænger arealet af en trekant sammen med arealet af firkant? Men også gode aktiviteter med opsamlende pointer. Imidlertid kan elever, der forstår sammenhænge også lave procedurefejl, men det giver vi point for alligevel, for forståelse vejer trods alt tungere.

Og så er der matematisk modellering, og hvad det vil sige at forstå det. Når vi arbejder med matematisk modellering har vi et reelt empirisk problem, som kan løses matematisk, hvis vi

1. kan læse os frem til, hvad det handler om eller forstå problemet

2. kan finde ud af hvilken matematik, der skal bruges for at løse problemet

3. er i stand til at udføre de matematiske procedurer, der kan føre til løsningen af problemet

4. kan overføre løsningen til det endelige problem 

Der er flere led, der skal mestres i denne proces.

Lad os se på en lille opgave fra virkeligheden:

En familie med to mindre børn er på Bakken, hvor man kan få kæmpestor vaffelis. Isen er 20 cm høj og med en diameter i toppen på 10 cm. Denne is er det eneste børnene har lyst til, men da den er meget stor, ender det med, at de får en is til deling. Det ældste barn siger: Jeg starter og spiser de øverste 10 cm, men det vil den yngre ikke acceptere. Spørgsmålet er nu, hvor mange cm den store må spise fra toppen og ned før den yngre skal over spisningen?

Problemstillingen er ikke så svær at forstå, den virker meget tilforladelig, men hvordan skal man løse den matematisk? Vi er lynhurtigt ude i noget med kegler og keglestubbe, og hvis man ikke lige kan huske formlerne for omdrejningslegemer kan det være svært. Den kunne nok også løses med noget forholdsregning, men hvordan man lige finder en regneforskrift for dette lille problem, kan volde en del vanskeligheder. Så hvis man ikke er i stand til at finde disse forskrifter er man lost, og hvis man finder dem og ikke kan benytte dem, fx ikke ved hvordan man arbejder med omdrejningslegemer og integraler eller kan finde reglerne for forholdsregning, er man lost igen. Men hvad er det, man ikke forstår her?  Får man point for at løse den ved at binde en snor om isen og finde en ligevægt i to halvdele? Eller vælge at dele den på langs?

Hvornår forstår man modellering, og hvilke dele af arbejdsgangen er vigtigere end andre?  Vi berører her de matematiske kompetencer, og spørgsmålet er, hvad der er vigtigst at lære af matematik, hvis kapaciteten er begrænset.