Kan udvikling af strategier ændre undervisningskulturen i begynderundervisningen i matematik?

Neuman konstaterede gennem sin lange forskning, hvordan mindst en elev i hver klasse stadig i slutningen af 9. klasse savnede forestillinger om, hvordan vores 10 talsystem fungerer, og hvordan de fireregningsarter relaterer sig til hinanden. Hun registrerede også, at mange elever i de første klasser allerede havde formet sig forestillinger om de ti grundtal og relationen mellem addition og subtraktion. Hun stillede sig derfor spørgsmålet om, hvorfor det gik så galt, og hvordan man kunne undgå det.

En af Neumans forklaringer er, at eleverne ikke får mulighed for at udvikle de nødvendige strategier som hjælp til at arbejde med de fire regningsarter og de relationer, der forbinder dem til hinanden. I stedet udvikler eleverne parallelle systemer, som kan være meget belastende for arbejdshukommelsen i det lange løb og samtidig uhensigtsmæssige for den enkelte elev.

Subtraktion som den vigtigste af de fire regningsarter

Neuman mener at subtraktion er mere naturligt end addition, fordi subtraktion starter med en helhed, som formindskes ved subtraktion, mens addition kræver at man bygger helheden op gennem addition. Man finder vist ikke mange matematikbøger, der starter med subtraktion. Det drejer sig for det meste om addition og at tælle. Men subtraktion kan også bruges i additionsstykker, og mange elever finder det nemmere at spørge, hvad man mangler som fx i følgende opgave: Du har 2 ting, men skal bruge 9 ting, hvor mange ting mangler du? Ofte ser subtraktionsopgaverne ud som 9 – 7 = _ men kunne altså ligeså godt se ud som 2 + _ = 9. Hun opfordrer til at sammenhængen mellem addition og subtraktion bliver tydelig fra starten. Det betyder, at hvis man ved at 2 + 7 = 9, så ved man også at 7 + 2 = 9, at 9 – 2 = 7 og at 9 – 7 = 2.

Gode venner

Vi kender også alle de ’gode venner’ som er to tal, der tilsammen giver 10. 1 er gode venner med 9, 2 med 8 og så fremdeles – fem vennepar i alt. Neuman plæderer for, at man udvider begrebet om gode venner til også at indeholde de gode venner for tallene fra 2 til 9.

For 2: 1 + 1 = 2 betyder at 1 er gode venner med sig selv i forhold til 2 og samtidig er 2 – 1 = 1

For 3: 1 + 2 = 3 betyder at 2 + 1 = 3, 3 -2 = 1 og 3 -1 =2. 1 og 2 er gode venner i forhold til 3

For 4: 2 + 2 = 4 og 3 +1 = 4 med de tilhørende subtraktionsforståelser og gode venner

For 5: 1 + 4 = 5 og 2 + 3 = 5 med de tilhørende subtraktionsforståelser og gode venner

For 6: 1 + 5 = 6, 2 + 4 = 6 og 3 + 3 = 6 med tilhørende subtraktionsforståelser og gode venner

For 7: 1 + 6 = 7, 2 + 5 = 7 og 3 + 4 = 7 med tilhørende subtraktionsforståelser og gode venner

For 8: 1 + 7 = 8, 2 + 6 = 8, 3 + 5 = 8 og 4 + 4 = 8 med tilhørende subtraktionsforståelser og gode venner

For 9: 1 + 8 = 9, 2 + 7 = 9, 3 + 6 = 9, 4 +5 = 9 med tilhørende subtraktionsforståelser og gode venner

Med de 5 gode venner for 10 har vi i alt 25 vennepar, som Neuman mener har stor betydning som faktaviden for eleverne. Bliver eleverne i begynderundervisningen trænet i disse opløsninger af grundtallene og præsenteret for, hvordan denne viden kan støtte dem i arbejdet med større tal, er de hjulpet meget godt ind på en vej med færre nederlag i forhold til matematik.

At tælle forfra og videre

Mange elever bruger at tælle, når de adderer. Nogen tæller videre, mens andre tæller forfra – flere bruger fingrene som hjælp. Der har været diskuteret en del, hvordan man får elever, der bliver ved med at tælle forfra, til at lære at tælle videre, men Neuman argumenterer også for, at den form for tælling slet ikke hjælper eleven. Det kan være en decideret omvej. Hun mener derimod, at kendskabet til de 25 gode venner kan blive det afgørende redskab for, at elever udvikler effektive regnestrategier.  Så måske er det en god ide at udvide vennerne fra 5 til 25. Spørgsmålet er lige, hvem der er venner med hvem, hvordan og hvorfor.

Neuman, D. (2013). Att ändra arbetssätt och kutur inom den inledande aritmetikundervisningen. Nomad, Nordic Studies in Mathematics Education, 18(2), 3-46