Hvordan kan åbne opgaver misforstås?

’Åbne opgaver’ er et begreb, som kan forstås på forskellige vis, hvorfor det kan give anledning til misforståelser: Man tror man snakker om det samme begreb, men forstår forskellige ting ved det. Umiddelbart skulle man måske tro, at lukkede opgaver er det modsatte af åbne opgaver, hvilket er en misforståelse. Vi har masser af eksempler på at en tilsyneladende åben opgave kan være meget begrænset i sine svar, og at en tilsyneladende lukket opgave kan åbnes gennem de spørgsmål, der stilles til den. Jeg er optaget af, at eleverne gennem deres arbejde med åbne matematiske problemstillinger bliver udfordret til at tænke matematisk og derigennem opdage og blive bevidst om matematiske strukturer. Andre kan forstå noget andet. Lad mig give et eksempel:

Hvilke to tal giver summen 8?

Det kan siges at være en åben opgave, men den kan blive besvaret meget enkelt med at finde de fire forskellige par med summen 8, hvor 5 + 3 = 3 + 5 opfattes som det samme. Men det kan også blive til så meget mere, hvor underliggende strukturer bliver synlige gennem spørgsmål. Det afgørende er, hvad spørgsmålet er et eksempel på, og måske handler det om noget helt andet end diskussionen, om en opgave er åben eller lukket. Det er på den måde, jeg mener at man kan misforstå, hvornår en opgave er åben og hvad man vil bruge denne åbenhed til.

Forskellige udgangspunkter

Åbne opgaver kan formuleres i en kontekst udenfor matematikken, hvor det handler om at omsætte de kontekstuelle problemstillinger til matematiske problemstillinger, som efter min mening bør være reelle meningsfulde problemstillinger fra konteksten. Det er igen ikke helt entydigt, hvornår det er det. Er det interessant at finde ud af, hvor meget tandpasta, der er i en tube? Det kan det være, hvis man skal på vandretur og ønsker at have nok tandpasta med. Nu er spørgsmålet, hvordan man finder ud af. Man kan gå mange forskellige veje, og nogle af dem er efter min mening mere meningsfulde end andre. Det handler om det overordnede mål med aktiviteten, og hvad man vil bruge konteksten til.

Man kan også tage udgangspunkt i matematikken, hvor der er mange traditioner for at stille lukkede opgaver i lange spalter. Ole Skovsmose var den første til at gøre mig opmærksom på, hvordan man kunne arbejde med åbne matematiske problemstillinger, men også hvor svært det var. Han skrev siden den lille pamflet om undersøgelseslandskaber (1999). Jeg har også været meget inspireret af nogle engelske bøger fra ATM, gennem hvilke jeg har lært betydningen af at stille forskellige spørgsmål undervejs i forløbet – det er også her differentieringen opstår. Hvis elever kun møder bestemte opgaver, tror de måske at matematik kun handler om at løse den slags problemer. Jeg tror på, at det er vigtigt at stille spørgsmål, som får eleven til at tænke over strukturerne i den pågældende opgave, som de arbejder med, så det også bliver muligt at overføre denne viden til andre problemstillinger. Det drejer sig om mønstergenkendelse.

 Eksempler på spørgsmål, man kan stille, er:

Kan du give mig et andet eksempel på tal som giver summen 8? Og et andet og et andet…

Når der ikke kan gives flere svar, er spørgsmålet selvfølgelig: Hvorfor er der ikke flere?

Hvis man har tre slags bamser til rådighed, som vejer henholdsvis 4g, 8g og 12 g er det så muligt med disse bamser at finde 30g? 40g? 50g eller 60? Hvorfor og hvordan.

Der findes så mange gode spørgsmål, det er bare om at komme i gang med at benytte dem. Jeg håber at dette svar til Pierre gør det klarere, hvad jeg mener med misforståelser i forhold til at bruge åbne opgaver i sin undervisning.

Henvisninger til:

Skovsmose, O. (1999): Undersøgelseslandskaber. Danmarks Lærerhøjskole

Bills, C., Bills, L., Watson, A. and Mason, J. (2004): Thinkers. ATM